出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
8 _$ ~* w) F, i) f; q' l" _* R5 r8 }
8 r- n1 m9 h. C" b8 T2。下边证明有没有毛病？
9 {2 }! K' k+ Z7 ^# ^( _/ ^$ e4 n; v
5 ?, g% F3 j. S: p设  a=b
7 W! L' I3 K) a2 K4 b
' w$ n5 h0 Y3 |7 ^3 ?* B) n# e则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

( _3 D- t) N( _3 y# Ka(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
0 U' ~8 D; Q! u5 `) Ra=2a
( b' Y- V) ^- C  A. }# B1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
* y6 {+ e: S* P; }3 O7 T+ y2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
! R8 X8 u7 u( K2 B9 j$ Z9 _1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
. @: I: ]* A: H0 X" x3 x: V2 n- V2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

$ A/ O2 L+ x6 @" `! T看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 D+ Y" E: G) h0 _0 G) {1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

6 i- w* m/ x0 ~" y3 L" p4 ]为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
3 s1 d9 f4 G9 E& [5 [3 kLet n >1 be an integer
! t/ N( P) D- O: \' D9 jBasis:   (n=2)
% d* M% M+ ?0 J. S* I7 L9 v) @         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
- V0 _8 E; D2 B2 M' b3 w
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

' U, f* d0 I" N" [" a; N/ z- rNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
( T3 {3 b9 q# a- d2 gsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
. a( j" f9 h5 d! M7 j7 R* d                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
3 S3 O+ b9 o+ H9 }                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
1 \: c0 ^- x8 W; Q2 U0 w) pby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
, F' s# z5 O/ T# M' a" X
$ S8 E  r; h7 rConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
0 X8 b0 l4 D( q9 K0 u% o: h" B0 x
5 X7 W. u1 a6 ?, A+ ]' f[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
% w5 ?" N1 q* l  R  |, ^Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

2 l2 `, n7 a/ YSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.