股票市场分析方法综述--分形资本市场zt

zsm2002 · 发表于 2009-5-12 20:50

《股市动力学系统研究》研究组*

本项综述是中国社会科学院经济文化研究中心课题"股票市场动力学系统研究"的一部分。其目的是探讨在经典的股票市场技术分析理论中，对股票价格的波动和运行趋势的主要分析方法，特别是这些方法背后所隐含的基本假设和基本定理。

一、分形市场
1、有效市场假设与高斯分布
20世纪初法国数学家Louis Bachelier在博士论文"投机理论"中提出，资本市场的价格波动是布朗运动，其统计分布是高斯分布（或正态分布）。正是这项研究构建了现代资本市场理论的基础，并在此基础上逐渐形成了其理论的主要内容，包括H·马可维兹（H·Markwitz）的投资组合选择理论、E·法马的有效市场假设、W·夏普的资本资产定价模型以及F·布莱克和M·斯科尔斯的期权定价模型等等。
Bachelier研究的目的是为了解释为何资本市场中的各种价格都无法加以预测。他把这种不可预测性归结为资本市场价格波动的布朗运动。但他并没有对他关于资本市场收益率是独立的、具有相同分布随机变量（IID）的论点提供充分的经验证据。
保罗·萨缪尔森在1965年用"完美市场"理论对资本市场价格波动遵循随机游走进行了解释。法马（1965）总结了对市场价格变化服从随机游走模型的各种检验，并将其形式化，形成了作为数量化资本市场基石的有效市场假说（EMH，Efficient Market Hypothesis）。EMH认为资本市场是一个"鞅"，或"公平博弈"，即，信息不能用来在市场上获利。作为对随机游走模型的一种解释，根据信息种类的不同，有效市场有三种不同的类型。
强式有效表示资本市场价格充分反映了所有存在的信息（或所有公开的和私下的），不论是否当前可获得；半强式有效表示资本市场价格充分反映了所有公开的信息；弱式有效表示资本市场价格充分反映了市场所有过去的价格信息。由于在资本市场中利用内幕交易获取超额收益的现象和事件层出不穷，所以强式有效市场假设并不为投资界所接受。半强式市场有效理论假设当前的市场价格不仅反映了所有以前的价格信息，也反映了所有有关市场可公开获得的信息，这是一个比弱式有效更强的假设条件。弱式有效市场是其中的价格相互独立且可以随机游动的市场。半强式有效市场假说也是广为接受的EMH形式。
市场的有效性体现在市场价格走势的不可预测性，或说不可完全预测性。如果市场针对价格的收益率是随机游动的，则市场就是有效的，但市场是有效的并不一定服从随机游动模型。
EMH（主要指半强式有效市场假说）和关于市场价格变化相互独立的假定给出了市场价格运动不可预测性的随机游走解释。以此为基础的现代资本市场理论认为：（1）市场的投资者是理性的。他们追求均值和方差有效性。投资者需要给定风险水平上期望收益率最高的资产，而风险是用收益率的标准差来度量。（2）市场服从EMH。市场价格反映了所有公开的信息，并且价格的变化各不相关、相互独立。（3）因此，收益率遵循随机游动。其概率分布近似于正态或对数正态，所以它具有有限的均值和方差。
有效市场理论是对现实市场的一种线性表述，弱式有效的统计模型本身就是一个简单的线性回归分析。而半强式有效则强调了市场中的投资者以线性的方式对信息进行反映，即在接到信息时即时做出反映。这种线性表述隐含了收益率近似正态分布以及价格变化相互独立的假设。
关于市场有效性的实证研究在有效市场假说产生之前就一直在进行，并从未停止过。实证研究的结果对有效市场假说（EMH）的基础提出了挑战，其中最具有意义的是关于收益率服从"稳定帕雷托"分布（Stable Paretian distribution）的分形市场假说。
2、分形市场与稳定帕雷托分布
高斯正态分布的方差是收敛的，且三倍标准差以外出现的概率已经非常小。但是，对市场收益率的实证研究表明，收益率的实际分布与标准正态分布有着较大的差异。
对收益率分布正态性进行的实证检验表明，其尾部比正态分布预言的更胖，围绕均值的峰部比正态分布预言的更高，这种情况被称作"胖尾和尖峰"。彼得斯的一项对S&p500（1928年1月～1989年12月）日收益率的实证研究表明，股票市场出现3标准差事件的概率是高斯随机数的两倍。而斯特耶在对长期国债、短期国债和期货价格的一项研究中也发现，3或4标准差价格变化出现的次数相当于正态分布所预言的两到三倍。
关于市场易变性的实证检验也佐证了收益率分布不同于正态分布的观点。在正态分布中，标准差的缩放遵循T1/2法则，即年收益率的标准差是月标准差乘上12的平方根。但实证研究却表明，标准差并不按T1/2缩放。
收益率分布的胖尾和尖峰特征动摇了随机游走模型和EMH的基础。分形几何学的创始人B·Mandelbrot提出，资本市场收益率服从稳定帕雷托分布（也称为分形分布）。稳定帕雷托分布在均值处有高峰，也有胖尾，与观察到的股票市场收益率的分布十分相象。稳定帕雷托分布的特点是倾向于趋势和循环，同时也有突然的和不连续的变化。在稳定帕雷托分布中，方差是无限的或无定义的。利用分形分析，已经可以区分胖尾的高斯分布和分形分布。
稳定帕雷托分布通常用它们的特征函数的对数来表述：

φ（t）=iδt －γ│t│α(1+iβ（t/│t│）tan(απ/2))， α≠1
= iδt － γ│t│α(1+iβ（t/│t│）（2/π）log│t│), α=1 （1）

其中有4个特征参数：α、β、γ、δ。δ是均值的位置参数；γ是可以调整的标度参数。α和β是决定分布形状的重要参数。β∈[-1，+1]，是偏斜度的度量，当β=0时，分布是围绕δ对称的。参数α是特征指数，在δ处决定峰度和在尾部决定胖度。α∈[0，2]，只有α=2时，分布才等价于正态分布。在（1）式中，取α=2、β=0、γ=γ、δ=δ，则分形分布的特征函数的对数形式就简化为标准的正态分布的特征函数的对数形式：

φ（t） = iδt －（σ2/2）t2 （2）

这里，均值为δ，方差为σ2，此时 γ=σ2/2 。
分形市场假说（ FMH,Fractal Market Hypothesis）在对市场概率分布形式的认识上，以及对实证分析中显现的市场胖尾与尖峰形成的机理的认识上，与有效市场假说有着本质的差别。分形市场假说认为市场的概率分布在（1）式中的特征值α可以在1和2之间取值；而有效市场假说则认为α必须等于2，即要满足帕雷托分布退变为正态分布的必要条件。而改变α的值，会极大地改变时间序列的性质。当α=2时，分布具有有限且稳定的方差和均值；然而，当α＜2时，总体方差就变成无限的或不可定义的，当α≤1时，总体均值也变成无限。
分形市场假说中的稳定帕累托分布是一种分形分布。它具有足够的时间标度上的自相似性，即一旦作了时间标度的调整，时间序列的概率分布仍然保持同样的形状。正态分布是当α=2时的一种特殊的分形分布，但由于一般分形分布时间序列与正态分布时间序列在方差和均值上的本质性差别，在正态分布假设下使用的概率微积分及现有模型就不适用于分形分布的时间序列。
在稳定帕累托分布（1）中，时间标度的自相似体现在特征指数α和偏斜度参数β相对于规模变化的不变性上。也就是说，当调整规模变化参数γ时，在具有相同α和β值的所有规模变化上概率保持不变。序列（分布）是无穷可分的，具有这种统计上自相似的分维时间序列是一种分形。实际上，特征指数α就是概率空间的分形维，它能在1和2之间取分数值。
对于市场概率分布的不同认识，也反映了分形市场假说和有效市场假说对于胖尾和尖峰形成机理的不同认识。有效市场假说认为，信息偶尔是以成堆的方式出现的，而不是以平滑的方式出现的；市场对成堆信息的反应导致了胖尾；但这种反应是立即体现在市场的价格之中。而分形市场假说则认为，市场会对信息的到来做出滞后的反应，投资者在趋势十分明显之前忽略了信息，然后又以积累的方式对所有以前忽略的信息作出反应，这样即使信息不是以成堆的方式出现的，也会出现胖尾现象。分形市场假说的信息反应模型显然是一种非线性模型，而不同于有效市场假说中的线性信息反应模型。在非线性模型中，当信息的水平越过了临界值，投资者将对他们以前忽略的所有信息作出反应，也就是说过去的信息将影响到现在的决策（价格）。

二、Hurst 指数
1、分形市场的度量
相对于正态型概率分布假设模型中使用均值和方差作为特征量进行分析来说，在概率分布为稳定帕雷托分布形式的分形市场模型中，其概率空间的分形维数α是分形分析的特征指数，因为在分形分布的形式下，方差变的无穷或无定义。
在实际应用分析中，一般采取R/S（重标极差）法来测定概率空间分形维数α。R/S分析法是Hurst在大量实证研究的基础上提出的一种分析方法。在R/S分析法中，实际测定的是α的一种近似值：H = 1/α，时间序列的H值是对时间序列时间痕迹分形的一种测度，时间空间的分形维 D = 2 - H。D度量的是时间序列的参差不齐性，α度量的是概率密度函数尾部的肥胖性。通过这种方法，建立了概率空间的分形维与时间序列的分形维之间的关系。尽管它们是对一个过程不同方面的测度，通常的情况下两个分形维具有近似的值（即概率空间的分形维α与通过R/S分析法计算而得到的 1/H有近似的值）。因而，可以通过对H指数的分析来取代对α的分析。H指数也被称为Hurst指数。
Hurst是一位水文工作者，长期研究水库的控制问题。在实际的工作中，他发现大多数的自然现象（如水库的来水、温度、降雨、太阳黑子等）都遵循一种"有偏随机游动"，即一个趋势加上噪声。Hurst在20世纪40年代对这种有偏随机游动进行了全面的研究，他引入了一个新的统计量：Hurst指数用以度量趋势的强度和噪声的水平随时间的变化情况，使用的分析方法就是R/S分析法。Hurst指数对于所有的时间序列都有着广泛的用途，因为它是特别强健的，它对被研究的系统所要求的假定很少。
Mandelbrot则在20世纪60年代和70年代再次对有偏随机游动作了全面的研究，他把其称作分数布朗运动。遵循分数布朗运动的时间序列是分形时间序列，其概率分布服从稳定帕雷托分布。资本市场的分形市场假说认为市场服从稳定帕雷托分布，因而资本市场的时间序列就是有偏随机游动的时间序列。通过Hurst指数可以将概率空间的分维指数和时间序列的分形维联系起来，H指数通过时间序列的分形维度量一个时间序列的参差不齐的程度，通过概率空间的分形维度量概率密度函数尾部的肥胖的程度。
２、R/S（重标极差）分析法
如果一个时间序列是随机的，其极差应该随时间的平方根增加，即遵循T1/2法则。为了使这个度量在时间上标准化，Hurst通过用观察值的标准差去除极差（即重标极差）建立了一个无量纲的比率，他发现重标后的极差与观察值的数量之间满足下面的一般关系：

　 (R/S)n＝k × NH （3）

Log(R/S)n＝Log(k) ＋ H × Log(N) （4）

其中：(R/S)n为重标极差，N是观测样本数，k是常数，H为Hurst指数。（4）式是（3）式的对数形式。
Hurst指数能够通过（4）式由绘制的Log(R/S)n与Log(N)的标绘图逼近，并通过最小二乘法回归得到Log/Log图的斜率，这个斜率就是H指数。
在对资本市场等经济时间序列应用R/S分析法时，首先应构造时间序列Pt的对数收益序列：

St＝Log（Pt/Pt-1）（5）

然后以St作为因变量，St-1作为自变量，进行回归分析，并得到St的AR(1)残差序列：

Xt＝St－（ a ＋ b×St-1）（6）

Xt就是进行R/S分析的对象。对数收益序列的构造和AR(1)残差法的使用是为了最大限度的消除经济时间序列中的线性依赖。因为线性依赖本身可能导致Hurst指数的偏离。

3、Hurst指数的性质
Hurst指数是联结概率空间分形维和时间序列分形维的纽带，因而它的性质体现在两个方面：有偏随机游动的有偏性和时间序列的分形。
Hurst指数与概率空间分形维α的关系式为：H=1/α。α有三种取值不同的范围，对应着三种不同性质的稳定帕累托分布。与此相对应，H指数的三种取值范围是：（1）H=0.5；（2）0≤H＜0.5；（3）0.5＜H≤1。
通过H指数，还可以建立过程的时间关联尺度函数：
C＝2（2H-1）－1 （7）
当H=0.5时，将意味着一个独立过程。根据统计学，如果序列是一个随机游动，则H=0.5，即服从T1/2法则。表明在此状况下，时间相关性C=0，过去的信息不会影响到现在，现在的信息也不会影响到未来，而这正是有效市场假说的中心。从概率空间分形的角度上说，H=0.5时意味着概率分形维α=2，稳定帕累托分布退变为正态分布，表示一个随机游动过程，它在概率空间是二维的，会遍历一个平面。其时间过程的分形维D=1.5，正好是确定时间过程和完全均值回复过程的分形维的中值。
当0≤H＜0.5时，这一类型的系统是反持久性的或遍历性的时间序列，经常被称为是"均值回复"的。这种反持久性行为的强度依赖于H指数靠近0的程度，在这种情况下，时间相关性C＜0，H指数越接近0，C值就越接近-0.5,也就越体现出负相关性。在这一类系统中，如果前一个时间期间是涨升的，则它在下一个时间期间多半会下跌；反过来，如果前一个时间期间是下跌的，则它在下一个时间期间多半会涨升。这种时间序列具有比随机序列更强的突变性和易变性。从时间过程的分形维上看，D＞1.5，反持久性过程比随机游动更为"粗糙"。但在实际的经济分析中，很少遇到这种具有反持久性的时间序列。
分形市场假说不同于有效市场假说的重要的一点是，有效市场假说认为概率空间分形维α=2，而分形市场假说认为α可以在1和2之间取值。与之相对应的是，分形市场假说中0.5＜H≤1。当0.5＜H≤1时，标识的是具有持久性或趋势增强性的序列。趋势增强行为的强度或持久性取决于H指数接近1的程度。在这种情形中0＜C≤1，H越接近1，相关性就越强，趋势性也就越明显；H越接近0.5，噪声就越大，趋势也就越不确定。表现出持久性或趋势增强性的序列是一长串相互影响、相互联系的事件的结果；现在发生的事件将影响未来，而现在的状态则是以往所发生事件的结果。正相关性表明，序列有增强以往趋势的倾向，如果上一个时间期间是涨升（下降）的，那么，下一个时间期间将继续涨升（下降）。
具有持久性或趋势增强性的序列的概率空间分形维在1和2之间。因为事件之间具有依存性，它并不会填充一个平面。时间序列的分形维1≤D＜1.5。由于D度量一个时间序列的参差不齐的程度，所以，具有持久性或趋势增强性的序列比随机游动序列更光滑。H指数越大，参差不齐的程度就越小。当噪声完全消失，一个确定性的系统就会产生一条光滑的曲线。换句话说，一个分形时间序列把一个纯粹的随机序列从一个被随机事件扰动的确定性系统中分离了出来。

三、R/S分析方法与Hurst指数的应用
将R/S（重标极差）分析应用于资本市场，可以（1）确定Hurst指数；（2）确定平均周期长度。Hurst指数则可以用来比较不同的股票和指数的性质（在股票市场中），并可以据此构造投资组合。R/S分析方法和H指数不仅仅可以用于股票市场的分析，它同样可以用于债券、外汇以及其他经济指数的分析中。
1、H指数的实证研究
利用R/S方法可以计算股票价格指数的H指数，也可以计算各个股票价格的H指数。因而，可以使用H指数进行比较分析。高H值比低H值显示更少的噪声、更强的持久性和更清楚的趋势。彼得斯认为，高H值意味着低风险，因为数据中的噪声较少。
彼得斯对股票指数以及个股进行了大量的R/S分析。对S&P500的月收益率（1950年1月～1988年7月）的R/S分析表明，所得到的H指数的估计值为H=0.78，高的H值显示了美国的股票市场显然是分形，是一个有偏随机游动，而不是随机游动。关于道·琼斯指数分析也得出了相近的结果，其20天收益率的H=0.72。对美国股票市场中的个股的R/S分析则有如下的结论：按产业分组的股票倾向于有类似的H值；创新水平高的产业倾向于有高的H值；相对而言，公用事业的H值低。例如，IBM的H=0.72，施乐的H=0.73，苹果电脑的H=0.75，麦当劳的H=0.65，得州公用事业的H=0.54。
国内也有学者将R/S分析法应用于上海股票综合指数和深圳股票成分指数。戴国强等使用日收益率数据进行了研究，样本区间为：上海综合指数1990年12月19日至1998年10月5日；深圳成分指数1991年4月3日至1998年9月24日。研究结果表明，上海股票市场和深圳股票市场都存在状态的持续性，上海综合指数的Hurst指数H=0.661，深圳成分指数的Hurst指数H=0.643。刘志新等同样使用日收益率数据进行了研究，不同的是用深圳综合指数取代了成分指数。他们的样本区间为：上海综合指数1990年12月至2000年5月；深圳综合指数1991年4月至2000年5月。刘的研究比较了全体样本和1994年以后的数据样本，得到的结果是：上海市场全体样本的Hurst指数H=0.646，1994年后样本的Hurst指数H=0.527；深圳市场全体样本的Hurst指数H=0.664，1994年后样本的Hurst指数H=0.531。刘志新等认为，由于1994年后样本的Hurst指数值接近于0.5，所以中国股票市场的持久性在减弱，而随机性在增强。
根据1994年后样本日收益率的H值接近0.5而得出持久性减弱、随机性增加的结论并不是一个稳健的推断。这涉及R/S分析的稳定性检验问题，包括样本选取的时间长度以及时间增量的选取。
为了检验Hurst指数的稳定性，彼得斯研究了不同时间增量的收益率数据，他对S&P500每日价格序列建立了从1天直到80天对数收益率的序列，并计算相应的Hurst指数。结果表明，H值稳步地从0.59提高到30天增量的0.78。并且到了这一点后，它对于每个增量在0.78～0.81之间变动。这意味着，在系统的内部存在短于20天的噪声。如果数据中有较多的噪声，或较多的"均值回复"行为，H值就会较低。另外，由于市场是非线性的，存在着非周期循环。对于这样的系统，分析的样本时间至少应该跨过10个循环长度；时间的长度比采样的频率更为重要。这是因为，分形分布具有可加性，每一个时间增量都把所有的单个交易嵌入它自身了。
由于我国股票市场发展的历史较短，进行R/S分析的样本时间长度不够，使得只能计算日收益率的hurst指数。但根据上述分析，我们并不能根据较短日收益率的H值接近0.5而推断市场的持续性降低和随机性增强。
2、平均循环长度的实证研究
R/S分析的一个主要作用是发现遵循有偏随机游动的时间序列（分形时间序列）的平均循环长度。在R/S分析中，可以通过检查Log/Log标绘图断点的出现，较好地估计平均循环长度。也可以通过观察V统计量的峰值来估计平均循环长度，Vn=(R/S)n/n1/2。
分形时间序列是非周期的，非周期的循环没有绝对的频率，但有一个平均频率。非周期循环可能有两种来源：（1）可能是统计循环；（2）可能是一个非线性动态系统的结果，或决定性的混沌。R/S分析确定的平均循环长度度量的是需要多长时间，一个单一期间的影响才会减少到度量不到的程度。从统计的意义上说，它是序列消除长期相关性所需要的时间；而从非线性动力学的角度上讲，这是对初始条件记忆的时间长度。
彼得斯对不同时间增量的S&P500收益率数据的分析表明，S&P500收益率具有48个月的平均循环长度，且它相对于时间增量是稳定的，即无论是日收益率数据、20日收益率数据或月收益率数据，所得到的平均循环长度是一致的。对于个股的循环长度分析则表明：按产业分组的股票倾向于具有类似的循环长度；创新水平高的产业倾向于有较短的循环长度；相对而言，公用事业有较长的循环长度。
3、风险控制
虽然有研究已经尝试将稳定帕雷托分布应用到标准资本市场理论。但是，使用Hurst指数进行组合投资的实证研究尚不多见。在彼得斯关于S&P500和单一股票的Hurst指数分析中可以发现，S&P500的H值比所考察的任何一个单一股票的H值都高。如果仅以H值作为风险的度量的话，S&P500相对更高的H值意味着，资产组合的分散化可以减少噪声因素和增加H值，从而降低风险。
郑维敏根据Microsoft、Hp、MG等25只任选股票的历史数据，分别用正态分布和稳定帕雷托分布的方法进行了投资组合的对比研究。结果表明，采用稳定帕雷托分布，会有更多的收益。

http://www.ecrcass.com/ecrcass/DYTX/2002/2002_16.htm

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