出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

* I, b3 N9 s" u2。下边证明有没有毛病？
; V3 D9 h6 X* J" F3 l
设  a=b
( `/ _8 W# N9 U' Y# {
' J3 x' J* A: U+ B. f* T1 U则有： a*a-a*b=a*a-b*b
% Y( m- F' |- {0 c( ~: }两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
7 Z4 ]) u& V/ w4 E8 h$ ]( ha=a+b
- a7 z3 @) O0 w+ ?0 s$ ca=2a
1=2

! F5 G$ B0 D; s- W3 W$ C证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
3 ~: T* g/ l( i$ O) {0 z' D5 A2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 b& T' ~( t0 _0 Z. Y1 e2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
6 }* X7 \8 Z8 s9 \" |, R" @1 n1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
- O9 e/ y6 r: @
Proof:
( G) Y0 B9 v, D. p" ~2 FLet n >1 be an integer
9 U' ?" ]  `& WBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

- {; ]5 y1 h" q) U8 w% `Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
3 O! W* V7 t9 v/ ~! q
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
1 i0 c; ^( l+ ^2 V, Ysince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
8 X8 y% V2 i  \% ?by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
/ p+ \) p1 ^# |9 \# F- Z. bSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
* g( f: F8 o  E6 ]
" S% H  t$ w8 R2 FConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
; }4 ?* u7 J! i6 u
6 i" K; g, v8 G. x[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
/ p2 _: e9 `# d% x3 O+ DShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.