出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
( j- Q, W% V& q8 d: @* {  \' P
2 ~4 b+ l$ j  G2。下边证明有没有毛病？
' }: h5 p3 |  E% P$ {3 ~
! P" O- d% T1 O) d* A# q设  a=b

- \5 N6 r! {% L" H, v则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

% \4 Z0 D) A/ z) u0 U. Pa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
5 p" d8 S( L- @! ]a=2a
1=2

+ ]' m3 g! t! e; d4 ^* w: F证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

! |# R8 H1 k/ f9 m, G1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 S. {2 s. ~+ U0 f3 X" C2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
9 M" R5 s& t5 w* Q+ _/ V1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
* K& o) l0 Q* L9 `2 n, x1 `( ^2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

4 L. Z# J1 n: {  K. S* N1 J* O为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

+ \/ ~$ I+ z* k8 \2 |1 GProof:
1 n' M) T( q2 m# O7 FLet n >1 be an integer
9 n& @+ ?: u0 l* j  D- }' D6 \. kBasis:   (n=2)
" t3 a8 x, A8 z         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
+ j4 U  f& ~6 y( ?. {                                     K^3 – K can by divided by 3.

2 g* o1 N2 O  M, x+ a' B6 xNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
( ?% b4 u- y3 B( H) M  lsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
% G, S# f+ }) M5 G3 w' b                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
4 Y/ y# v0 D+ t2 i# B1 _by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
3 U' [1 [2 f8 ~8 {7 t0 s7 ]: I
+ m+ N5 T/ ?0 Z) UConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
1 _/ l% L9 ?. k
7 C. p3 ]! J# x0 z6 a# h[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

; Z4 L: }5 T' h  N第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
9 i4 u; s/ D7 a; B- lShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

1 b' D  C+ j- u" [8 [6 E$ P
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.